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ISSN : 1598-6721(Print)
ISSN : 2288-0771(Online)
The Korean Society of Manufacturing Process Engineers Vol.16 No.5 pp.134-140
DOI : https://doi.org/10.14775/ksmpe.2017.16.5.134

Application of Stereo Vision for Shape Measurement of Free-form Surface using Shape-from-shading

Young-Soo Yang*, Kang-Yul Bae**#
*Department of Mechanical Engineering, CN UNIV.
**Department of Mechatronics Engineering, GNUST
Corresponding Author : kybae@gntech.ac.kr+82-55-751-3384, +82-55-751-3389
20170821 20170828 20170904

Abstract

Shape-from-shading (SFS) or stereo vision algorithms can be utilized to measure the shape of an object with imaging techniques for effective sensing in non-contact measurements. SFS algorithms could reconstruct the 3D information from a 2D image data, offering relatively comprehensive information. Meanwhile, a stereo vision algorithm needs several feature points or lines to extract 3D information from two 2D images. However, to measure the size of an object with a freeform surface, the two algorithms need some additional information, such as boundary conditions and grids, respectively. In this study, a stereo vision scheme using the depth information obtained by shape-from-shading as patterns was proposed to measure the size of an object with a freeform surface. The feasibility of the scheme was proved with an experiment where the images of an object were acquired by a CCD camera at two positions, then processed by SFS, and finally by stereo matching. The experimental results revealed that the proposed scheme could recognize the size and shape of freeform surface fairly well.


자유곡면의 형상 측정에서 shape-from-shading을 접목한 스테레오 비전의 적용

양 영수*, 배 강열**#
*전남대학교 기계공학과
**경남과학기술대학교 메카트로닉스공학과

초록


    Gyeongnam National University of Science and Technology

    © The Korean Society of Manufacturing Process Engineers. All rights reserved.

    This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

    1.서 론

    금형 등 미려함이나 기능을 위한 자유곡면을 가 진 물체의 인식 또는 가공을 위해 표면의 크기와 위치정보를 측정해야 할 필요가 있다. 자유곡면의 크기와 위치정보를 구하기 위해서는 3차원 측정기 를 사용하여 직접 정밀한 측정을 할 수 있으나, 거치가 번거롭거나 시간이 소요되고 측정 환경을 잘 유지해야 하는 문제가 있을 수 있다. 또한 자 유곡면을 가진 물체 각 점의 3차원 좌표는 구조화 된 광을 이용한 3각 측량법, 레이저 거리 측정기 등을 활용하여서도 측정할 수 있으나, 별도의 광 원이나 환경이 요구된다[1~3]. 다른 방법으로, 컴퓨 터 비전을 이용하여 비접촉식으로 3차원 위치정보 를 얻을 수 있다. 이는 물체가 놓여 있는 그 상태 에서, 주변 조건을 제한하지 않고, 카메라만으로 물체의 형상 측정이 가능하게 한다[4]. 스테레오 비 전(stereo vision)을 이용하면 자연광 하에서 물체 까지의 거리를 용이하게 구할 수 있다. 이를 위해 서는 두 이미지를 매칭하여 찾을 수 있는 특징점 을 필요로 한다. 그러나 이미지 내에 이러한 특징 변화를 보이지 않는 곡면에서는 특징점을 인위적 으로 형성해야 하는 과정이 필요하다[5].

    한편, shape-from-shading(SFS) 방법은 물체를 촬 영하여 획득한 그레이-스케일 이미지로부터 기울 기와 높이 등 물체의 3D 정보를 재구성하는 기법 으로[6~7], 하나의 이미지 정보를 이용하고, 특징점 이 주어지지 않는 부드러운 곡면의 형상에 대한 깊이 정보를 확보하는 데 유용한 방법으로 활용될 수 있다. 특히, Pentland[8]와 Shah[9]는 반사도 함수 의 선형화 기법을 제안하여, 물체의 깊이 정보에 대한 닫힌 해를 얻을 수 있게 하였다.

    금형의 자유곡면 등의 형상 측정을 위한 스테레 오 매칭에서 SFS의 결과를 활용하면, 비록 상대적 이기는 하나 깊이 값을 알 수 있어, 용이하게 매 칭을 할 수 있다. 이는, 그리드를 사전에 그려 놓 거나 광원을 활용한 그리드 생성 과정을 배제할 수 있어, 자유곡면의 형상과 크기를 측정하는 효 율적인 방법이 될 수 있다. 기존의 연구사례는 에 너지를 최소화하기 위한 방법을 적용하여 많은 반 복연산을 통해 SFS를 수행하고, 반복적으로 SFS 와 스테레오 매칭을 수행하는 방법으로, 해를 구 하는 시간이 크게 소요가 된다[10~11].

    본 연구에서는 선형 SFS를 활용하여, SFS에 소 요되는 시간을 크게 줄이면서 SFS의 결과로써 직 접 스테레오 매칭하는 방법을 제안하였다. 특히 선형화 기법을 비교하여, 스테레오 비전에 용이한 기법을 선택하고자 하였다. 제안된 알고리즘의 타 당성을 검증하기 위하여, 스테레오 비전 실험을 수행하고, 결과에서 얻은 3차원 형상 정보와 물체 의 실계측치를 비교하였다.

    2.Shape from shading과 스테레오 비전의 접목

    2.1.Shape from shading

    광원으로부터 물체 표면에 복사되는 빛은, Fig. 1에서 보인 바와 같이, 표면에서 반사되고, 카메라 를 통해 이미지로 변환된다. 이때, 면의 기울기와 이미지의 밝기는 다음과 같은 이미지 반사도 (image reflectance) 방정식의 관계로 표현된다[9].

    E ( x , y ) = R ( p , q )
    (1)

    SFS는 이미지(E)가 주어지면, 식 (1)의 조건과 반사도, 광원 방향이 주어진 상태에서, 표면의 법 선 벡터(surface normal)를 구하는 방법으로, 카메 라에서 얻은 이미지의 밝기와 유사한 밝기를 갖는 표면을 구성하는 과정이다. 여기서, p는 점 (x, y, z )에서의 x방향 기울기, qy 방향 기울기 이고, 반사도 맵(reflectance map),R(p, q)은 면의 반사특성과 광원의 방향정보를 포함한다. 이미지 반사도 방정식은 비선형 식과 특정되지 않은 경계 조건으로 인하여 완전해를 구하기는 어렵고, 근사 해를 구하는 방법이 제안되어 있다[8~9,12].

    Pentland의 접근법[8]은, 반사도 맵을 특정점 ( p = p 0 , q = q 0 ) 주위에 대하여 Taylor 급수 전개를 취하고 고차항을 무시하여, 다음과 같이 선형식으 로 표현하고 있다.(2)

    R ( p , q ) R ( p 0 , q 0 ) + ( p p o ) R p ( p 0 , q 0 ) + ( q q o ) R q ( p 0 , q 0 )
    (2)

    이를 이용하여, 알려진 점( x 0 , y 0 )에서 출발하여 모 든 점(x, y)에서의 반사도 맵을 근사화할 수 있게 된다. 근사화된 선형방정식의 좌우변을 Fourier 변 환하고, 다시 z(x,y)에 대한 Fourier 변환 항을 역 변환함으로써, z(x,y)를 구할 수 있다. 이로써 비 반복법이고 닫힌 해를 얻을 수 있다.

    Shah는 반사도 맵을 선형화하기 위하여[9], 우선 유한차분법을 적용하여, Z(x,y)의 형태로 pq를 각각 근사화하고, Taylor 급수 전개를 사용하여, 함수 f = E R = 0 Z의 항으로 반복회수 k - 1에 서 복원한 표면인 Zk - 1 근방에서 선형화하였다.

    f ( z ) f ( Z n 1 ( x , y ) + ( Z ( x , y ) n Z n 1 ( x , y ) d f ( Z n 1 ) d Z
    (3)

    Z 0 ( x , y ) = 0 으로 가정하고, (3)식에서 얻은 Zn을 반복적으로 계산하여 Z ( x , y ) 를 도출하게 된다.

    한편, 단일 이미지로부터, 이미지 복사조도의 1 차 모멘트와 2차 모멘트를 이용하여, 반사도와 광 원방향을 결정할 수 있다[9].

    2.2.스테레오 비전

    물체를 촬영하여 이미지를 얻는 과정은 3차원 물체를 2차원 이미지 평면에 맵핑하는 것으로, 다 수 점을 한 점으로 변환하는 형태이다. 즉, 이미지 점은 3차원 대응점을 유일하게 결정할 수 없다. 스테레오 비전 기법을 적용하므로써 누락된 깊이 정보를 구할 수 있고[13], 이는 물체에 대한 2개의 이미지를 얻어 수행한다.

    Fig. 2에는 물체와 카메라의 기하학적 관계 그 리고 좌우의 이미지 좌표계, 좌우의 카메라 좌표 계, 절대(world) 좌표계, 물체 좌표계 등의 좌표계 를 보이고 있다. 두 렌즈 중심 간의 거리를 베이 스 라인(base line)이라 할 때, 두 개의 이미지 좌 표계에 나타난 절대 위치의 각 이미지 점 ( x l , y l ) 과 ( x r , y r )로부터 점 p의 절대 좌표(X, Y, Z)와 물 체 좌표(x, y, z)를 구하는 것이 스테레오 비전의 원리이다. 좌측 및 우측 카메라 좌표계에서, p점 은 각각 다음 위치에 놓이게 된다.

    X l = x l λ Z l ; X r = x r λ Z r
    (4)

    여기서, x l < 0 , x r < 0 이다. 그런데, 카메라 사이 이격 거리는 베이스 라인(2b 이므로 ) X l = X r + 2 b 이고, pZ 좌표는 두 카메라에서 동일하므로, Z r = Z l = Z 이다. 이를 (4)식의 좌우에 대입하면, Z 좌표를 구할 수 있고, x r x l 이 특정점 p의 disparity가 된다. 그러면, p점의 X,Y는 다음에서 구할 수 있다.(5)

    X = x l λ Z b ; Y = y l λ Z
    (5)

    따라서, p 위치는 병진[T]과 회전[R] 변환과정으 로 물체 좌표계에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.(6)

    [ x y z ] = [ R ] [ T ] [ X Y Z ]
    (6)

    이와 같은 과정을 통해, 물체의 형상과 절대 크기 를 측정할 수 있게 된다.

    2.3.SFS 정보와 스테레오 비전의 접목

    3차원 물체의 한 점에 대한 깊이 정보를 얻기 위해서는 이 점이 투영된 두 이미지에서 대응점을 찾는 것이 중요하다. 본 연구에서는 이미지에서의 특징점 대신에, 이미지에 SFS를 적용하여 얻은 깊 이정보를 패턴으로 활용하여, 이미지 사이의 대응 관계를 찾고자 하였다.

    Fig. 3은 임의의 물체에서 획득한 좌와 우의 이 미지에서 각각 SFS로써 산출한 형상 값인 z의 분 포를 보인다고 할 수 있다. 본 연구에서는 SFS에 서 얻은 z값을 무늬 패턴이라고 가정하고, 좌우 이미지에서 동일한 패턴을 찾아 이를 매칭하는 방 법을 제안하였다. 먼저, 좌와 우의 이미지에서 물 체와 배경의 경계부를 찾아, 배경부는 처리에서 배제하고, 경계부의 disparity를 계산한다. 다음은 pq가 동시에 0이 되는 위치를 찾아, 특징점으 로 삼고, 각각의 disparity를 구한다. 나머지 물체 영역의 disparity는 다음과 같이 z값에 비례한다고 가정하였다.(8)

    d ( i , j ) = m z ( i , j ) + n
    (7)

    여기서, mn은 경계부 등 특징점의 위치에서 찾은 disparity에 의해 결정된다.

    3.SFS정보 활용 스테레오 비전 실험

    제안한 스테레오 알고리즘을 검증하기 위하여, 부드러운 곡면을 가진 물체를 두 위치에서 촬영하 고, 획득한 이미지로부터 각각 SFS를 적용하여, 여기서 얻은 깊이 정보를 활용한 스테레오 매칭을 하는 실험을 수행하였다.

    Fig. 4(a)는 물체를 2개의 위치에서 촬영하기 위 한 스테레오 비전 시스템을 보이고 있다. 실제 촬 영에 활용된 카메라는 1대이고, 2개의 위치에서 촬영하기 위하여 거리 제어가 가능한 working table을 활용한 모션 스테레오 비전 방식을 적용하 였다. 촬영된 이미지는 frame grabber에서 획득하 고, 이를 컴퓨터에서 읽어들여 처리하였다. 측정에 사용된 물체는 Fig. 4(b)에서 보인 바와 같이 금형 과 형상이 유사한 백색의 플라스틱 용기를 사용하 였다. 실험에서 광원의 방향은 slant 2.06°, tilt 10.2°이었다. 카메라의 초점거리는 21 mm, 베이스 길이 b는 50 mm, 카메라의 CCD 크기는 가로 8.8mm, 세로 6.6 mm, 가로 방향 640개 픽셀, 세로 방향 480개 픽셀로 구성되었다. CCD 크기를 고려 하여 이미지 좌표를 계산하고, 이미지 상에서 얻 은 disparity의 실제 크기를 산출할 수 있다.

    4.결과 및 고찰

    물체를 우측과 좌측의 위치에서 각각 촬영하여 획득한 이미지의 강도값(gray level)을 Fig. 5에 나 타내었다. 이미지는 행(row) 방향과 열(column) 방 향의 이미지 좌표계에 나타나 있다.

    이미지 강도는 0~120 정도의 크기로 나타났다. 물체와 이미지를 비교할 때, 이미지의 강도값으로 써 물체의 형상을 파악하기는 어렵다고 판단할 수 있다. 좌측에서 촬영한 경우, 우측에서 촬영한 경 우보다, 이미지 면에서 물체가 이동한 결과로 나 타났다. 이동한 정도는 물체 형상에 따라 이미지 내부에서도 차이가 나타나게 된다. 이미지 강도만 으로는 내부의 이동 정도 또한 구하기가 어렵다.

    Fig. 6은 Pentland 알고리즘을 좌측 이미지에 적 용한 경우, z 값을 보여 주고 있다. 물체의 표면 형상과 이미지 강도 사이에 닫힌 해를 이용하여, 즉시 물체의 인식이 가능하였다. 그럼에도, SFS에 서 얻어진 결과는 물체의 실제 형상과 상당한 차 이가 있음을 보여 주고 있다. 이는 알고리즘 내에 서 물체와 배경 등에서의 깊이 정보 등 여러 경계 조건 등을 제대로 활용하지 않고, 단지 그레이 레 벨의 값에 의존한 결과와 선형화에 따른 고주파 성분을 제거한 결과로 판단된다.

    Fig. 7은 좌측 및 우측 위치에서 획득한 이미지 강도값에 Shah가 제안한 SFS를 적용하여 얻은 높 이 결과(z)를 보여 주고 있다. Pentland의 결과에 비해 물체의 윤곽 등이 강조되어 나타나고 있으 나, Fig. 4(b)에서 보인 물체를 제대로 묘사하지 못 하는 것으로 판단할 수 있다. 또한, SFS에서는 물 체의 z 값이 상대적으로 나타나고, x, y 방향 크 기에 대한 정보를 산출할 수 없다. 따라서 SFS에 의한 표면의 3차원 재구성 기법으로는, 신속하게 물체의 형상을 가늠하는 방법으로 활용할 수 있으 나, 물체의 형상과 크기에 대한 측정에는 한계가 있다는 것을 알 수 있다. 측정된 물체의 경우, 경 계부는 140 픽셀의 disparity가 나타났고, 물체는 중앙 정상부에서 최대 146.5, 가장자리 바닥면에 서 최소 140.2 픽셀의 disparity가 나타났다.

    Fig. 8은 제안된 방법으로 3차원 형상정보를 획 득하는 과정을 보여 주고 있다. 좌측과 우측 위치 에서 획득한 이미지를 활용하여, Shah가 제안한 SFS를 적용하여 각각 이미지 좌표계에서 깊이 정 보인 z 값을 얻는다. 좌우의 이미지 좌표계의 z 값을 상호 매칭하여, 특징점에서의 disparity를 구 하고 또 z와의 선형적 관계를 활용하여 나머지 부분의 disparity를 산출하게 되며, 이를 절대좌표 로 변환하여 물체까지의 깊이정보를 산출한다. 이 결과를 좌표계 사이의 변환관계로써 변환하여, 물 체의 3차원 크기와 형상정보를 얻게 된다.

    Fig. 9는 제안된 방법을 이용하여, 좌우의 z 값 을 매칭하여 얻은 물체의 3차원 형상 정보를 보여 주고 있고, 실험에 사용된 물체의 형상과 유사함 을 알 수 있다. 스테레오 매칭을 통해, SFS의 경 우와는 달리, z의 실제 크기와 xy 방향의 크 기까지 산출할 수 있음을 알 수 있다.

    Fig. 10은 물체의 가로(x)와 세로 방향(y) 중앙 부에서 실제 계측값과 스테레오매칭에 의한 측정 값을 비교하였다. 실제 계측은 분해능이 0.01 mm 인 디지털 게이지로 수행하였다. 물체는 최소 직 경이 약 80 mm, 최대 직경이 약 160 mm, 높이가 약 45 mm인 축대칭 형의 물체임을 보이고 있다. 물체의 가장자리 부분을 제외한 대부분의 위치에 서 두 측정값은 대체로 잘 일치하는 결과를 보이 고 있다. 결과적으로, 특징점이 주어지지 않는 부 드러운 곡면을 가진 물체에 대하여, 제안된 방법 이 SFS에 의한 방법보다 깊이 정보 뿐만 아니라, 물체 전체에 대한 크기 정보를 더 구체적이고 정 확하게 측정할 수 있는 방법으로 판단하였다.

    Fig. 11은 물체의 높이에 대한 가로 방향과 세 로 방향에서의 실제 측정값과 스테레오 매칭에 의 한 측정 결과와의 차이를 보이고 있다. 우측의 가 장자리 부분에서는 최대 8 mm에 이르는 높이 방 향 오차가 발생하고 있음을 알 수 있다.

    제안된 방법으로 측정한 전체 형상에 대한 오차 분석은 벡터 놈(vector norm)을 이용하여 산출하였 다[10]. 임의의 지점(i, j)에서 형상지수를 r 이라고 하고, 이를 다음과 같이 정의하였다.

    r = x i + y j + z k
    (8)

    디지털 측정결과와 제안된 방법에 의한 예측결과 의 형상에 대한 상대 오차율을 다음과 같이 정의 할 수 있다.(9)

    e r ( i , j ) = | r e ( i , j ) | | r m ( i , j ) | r m ( i , j ) × 100 %
    (9)

    여기서, 첨자 m은 디지털 측정, 첨자 e는 제안된 방법을 나타내고, · 는 Euclidean norm을 나타 낸다. 상대 오차율을 비교된 위치 수의 평균으로 나타내면, 제안된 방법의 평균 상대 오차율을 산 출할 수 있다.

    비교한 위치에서의 형상지수와 형상오차 그리고 상대 오차율 등을 고려하여 계산한 결과, x 방향 으로는 평균 1.0%의 상대오차율, y 방향으로는 평 균 1.1%의 상대 오차율을 나타내었다.

    5.결 론

    자유곡면을 가진 금형 등의 인식 및 형상 측정 을 위하여, 선형화된 SFS 알고리즘에 의한 패턴 생성과 이를 활용한 스테레오 매칭 기법을 제안하 였다. 이를 기반으로, 자유곡면을 모션 스테레오에 의해 촬영한 좌우의 이미지 정보에 SFS를 적용하 여 깊이 정보를 각각 확보하고, 이에 대한 스테레 오 매칭을 실시하여 다음과 같은 결론을 얻었다.

    • 1. SFS에서 얻은 깊이 정보는 물체의 형상과 절대 높이에 크게 연관성이 없었다. 따라서 SFS는 더 정교한 물체 인식 기법의 초기 추정에만 활 용될 수 있을 것으로 판단된다.

    • 2. 특징점이 주어지지 않는 부드러운 곡면의 형상 에 대한 깊이 정보를 SFS 기법으로 확보하였 고, 좌우에서 얻은 SFS 깊이 정보는 3차원 형 상에 대한 패턴으로 활용이 가능하였다.

    • 3. SFS에서 얻은 정보에서 특징점을 얻고 이를 활 용하여, 이미지의 disparity와 SFS 깊이 정보 사 이에서 선형적 관계를 얻을 수 있었다.

    • 4. SFS의 깊이 정보로써 스테레오 매칭을 수행한 결과, 3차원 형상에 대한 인식과 측정이 가능 하였고, 이는 실시간으로 처리될 수 있었다.

    • 5. 스테레오 매칭을 통해 측정한 결과는 실측에 비해 최대 약 8 mm의 높이 오차와 약 1% 정 도의 형상오차율을 나타내었다.

    후 기

    “이 논문은 2016년도 경남과학기술대학교 대학회계 연구비 지원에 의하여 연구되었음”

    Figure

    KSMPE-16-134_F1.gif
    Relation between surface normal, illumination direction and viewer direction on a surface
    KSMPE-16-134_F2.gif
    Relationship between image, camera, world and object coordinate systems
    KSMPE-16-134_F3.gif
    z patterns obtained from left and right images for stereo matching
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    Experimental set-up and object
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    Gray levels of right and left images
    KSMPE-16-134_F6.gif
    Depth information of object obtained by Pentland’s algorithm
    KSMPE-16-134_F7.gif
    Depth information of object with shape from shading by Shah’s approach
    KSMPE-16-134_F8.gif
    Procedure for obtaining shape of object from stereo matching between depth informations of left and right images
    KSMPE-16-134_F9.gif
    Shape of object presented in the object coordinate system
    KSMPE-16-134_F10.gif
    Comparison between heights at center line measured by digital gauge and by object recognition with stereo vision
    KSMPE-16-134_F11.gif
    Errors in height between measured and recognized values

    Table

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