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ISSN : 1598-6721(Print)
ISSN : 2288-0771(Online)

The Korean Society of Manufacturing Process Engineers Vol.19 No.5 pp.27-37
DOI : https://doi.org/10.14775/ksmpe.2020.19.05.027

Discrete Sizing Design of Truss Structure Using an Approximate Model and Post-Processing

Kwon-Hee Lee^*#

^*Department of Mechanical Engineering, Dong-A University

^#Corresponding Author : leekh@dau.ac.kr Tel: +82-051-200-6981, Fax: +82-51-200-7656

Received 24/01/2020 Review 19/03/2020 Accepted 22/03/2020

Abstract

Structural optimization problems with discrete design variables require more function calculations (or finite element analyses) than those in the continuous design space. In this study, a method to find an optimal solution in the discrete design of the truss structure is presented, reducing the number of function calculations. Because a continuous optimal solution is the Karush-Kuhn-Tucker point that satisfies the optimality condition, it is assumed that the discrete optimal solution is around the continuous optimum. Then, response values such as weight, displacement, and stress are predicted using approximate models—referred to as hybrid metamodels—within specified design ranges. The discrete design method using the hybrid metamodels is used as a post-process of the continuous optimization process. Standard truss design problems of 10-bar, 25-bar, 15-bar, and 52-bar are solved to show the usefulness of this method. The results are compared with those of existing methods.

Key Words : Discrete Design , Structural Optimization , Truss Structure , Hybrid Metamodel

근사모델과 후처리를 이용한 트러스 구조물의 이산 치수설계

이 권희^*#

^*동아대학교 기계공학과

초록

키워드 : 이산설계 , 구조최적화 , 트러스 구조물 , 하이브리드 메타모델

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Cited-By

Funding:

Dong-A University

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

1. 서 론

이산최적화(discrete optimization) 문제 또는 조합 최적화(combinatorial optimization) 문제를 해결하기 위한 방법으로는 분지한계법(Brand and Bound Method)^[1,2]이나 유전자알고리즘, 타부탐색법, 모의 담금질(Simulated Annealing)등의 메타휴리스틱 방법 ^[3-9] 등이 이용되고 있다. 일반적으로 이러한 이산 최적화 문제와 조합최적화 문제는 연속설계변수를 갖는 최적화문제에 비해 많은 함수 계산을 요구하 며 정확한 최적해를 찾기 어려운 특징이 있다^[3].

구조최적화 문제 중에서 설계변수가 규격이나 코드에서 선택되어야 한다면 이는 이산최적화 문 제에 속한다. 그러나 구조최적화 문제는 유한요소 해석을 수반하므로 분지한계법이나 메타휴리스틱 방법을 이용할 경우 과도한 함수계산 횟수를 필요 로 한다^[3]. 본 연구에서는 트러스 구조물의 치수최 적화문제에 대한 효율적인 설계 방법을 제시하고 자 한다. 트러스 구조물에서 구조를 구성하고 있는 절점 등의 위치는 불변이고 각 요소의 단면이 설 계변수가 된다면 이는 치수최적화 문제에 해당한 다.

트러스 구조물의 이산 치수최적화에 대한 기존 의 연구들은 주로 유전자알고리즘, 모의담금질방 법, 입자군집최적화(Particle Swarm Optimization)방 법, 조화탐색법(Harmony Search Method) 등^[4-9]을 이 용하고 있다. 기존의 연구들은 앞의 최적화알고리 즘과 해석을 바로 연계하여 이산 최적해를 구할려 는 시도로서 각 적용예제에 대해 800~150,000 회의 함수계산을 필요로 한다. 이 중 가장 최근의 연구 인 Cheng 등^[8]의 연구에서는 하이브리드 조화탐색 알고리즘을 이용하여 다른 방법에 비하여 함수계 산을 작게 하면서 이산 최적해를 제시하고 있다. 그러나 이 역시 많은 함수계산을 요구한다.

본 연구에서는 두 가지의 전략을 이용하여 트러 스 구조물의 치수최적화 문제를 해결하고자 한다. 먼저 이산해는 연속설계공간에서 구한 최적해의 주변에 존재한다고 가정한다. 즉, 설계변수를 이산 변수가 아닌 연속변수로 가정한 다음 최적해를 구 한다. 그 다음 최적화 정식화에서 포함된 반응치 중 스크린(Screen)을 통해 민감한 반응치를 선정한 다.

두 번째 전략은 연속 최적해 주변에서 목적함수 와 스크린되지 않은 제약조건함수에 포함된 반응 치의 근사모델을 이용하는 것이다. 생성된 근사모 델을 가지고 연속 최적해 주변의 이산값들에 대한 반응치를 예측하여 이산 최적해를 구하는 것이다. 이 과정에서 근사모델을 이용하면 중량, 변위, 응 력 등의 반응치를 구하기 위한 유한요소해석 또는 함수계산이 불필요하다. 즉, 본 연구에서 제시한 방법은 연속최적화의 후처리로서 근사모델을 이용 하여 이산최적해를 구하는 과정이다.

구조적 반응치의 근사모델을 구하기 위한 방법 으로서 반응표면모델과 크리깅모델로 구성되는 하 이브리드 메타모델^[10-15]을 이용하였다. 반응표면모 델은 2 차함수로 가정하였고 크리깅은 Sacks가 제 안한 DACE 모델^[16]을 이용하여 하이브리드모델을 구성하였다. 본 연구에서 제시한 방법의 타당성을 검토하기 위하여 트러스 구조물의 이산 치수최적 화 연구에 자주 등장하는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar로 구성되는 트러스 구조물에 적용하였으며 기존의 연구결과와 비교하였다. 본 연구에서 트러 스 구조물의 구조해석 및 연속 최적해를 구하기 위하여 ANSYS V12를 이용하였다.

2. 연속설계 후처리 및 근사모델을 이용한 이산설계 방법

2.1 설계과정

본 연구에서 제시한 설계과정을 Fig. 1에 요약 하였다. 먼저 1 단계에서는 이산설계 문제를 무시 하고 연속설계 공간에서 최적해를 구한다. 그 다 음, 두 번째 단계에서는 최적해 주변에 존재하는 이산설계값을 5 개 선정한다. 이것을 Fig. 2에 표시 하였다. 설계변수의 연속 최적해가 x_i^*로 결정되면 가장 가까운 이산값에 대응하는 수준을 3 번째 수 준으로 잡고 좌, 우측에 수준을 두 개씩 추가하여 5 개 수준을 정의한다. 이 과정을 Fig. 2 의 첫 번 째 그림에 표시하였다. 만일 두 번째, 세 번째 그 림과 같이 연속 최적해가 x_i^*로 결정되면 그림과 같 이 5개 수준을 정의한다. 이 수준들을 기초로 하한 값 및 상한값이 결정되면 라틴하이퍼큐브 샘플링 기법을 이용하여 표본점을 생성한다. 이 때 생성되 는 표본점수는 2차 반응표면모델을 생성하기 위해 필요한 최소 표본점 수의 2-3배로 설정하였다.

세 번째 단계에서는 구조적 반응치의 메타모델 개수를 최소화로 하기 위해 연속 최적해에서 비활 성화제약조건들을 스크리닝하여 제거한다. 본 연구 에서는 활성화제약조건을 다음과 같이 정의하였다.

g_{j} (x) / a l l - α \geq 0, j = 1, \dots, m

(1)

여기서 x 는 설계변수벡터, g_j(x) 는 j 번째 제약조 건함수를, m은 제약조건함수의 개수를, all은 허 용값을, α는 활성화제약조건을 정의하는 인자로서 1 미만의 값을 갖는다. 따라서 식 (1)을 만족시키지 못하는 제약조건들은 메타모델을 생성하지 않는다. 식 (1)을 만족하는 제약조건에 포함된 구조적 반응 치와 목적함수에 포함된 구조적 반응치는 다음 절 에서 설명하는 하이브리드 메타모델을 이용하여 근사함수로 대체된다.

네 번째 단계에서는 Fig. 2에서 설명한 5 개 수 준들에서 연속 최적해를 포함하는 3 개 수준을 선 택한다. 이에 기초하여 이산값들의 3ⁿ(n은 설계변수 의 수)의 조합에 대하여 목적함수가 작은 순서대로 오름차순으로 정리한다. 이 중 제약조건을 만족하 면서 목적함수가 제일 작은 순서에 오는 이산값의 조합이 이산 최적해가 된다. 그 다음, 결정된 이산 최적해를 중심으로 다시 3 개의 수준을 결정한 후 동일한 과정을 반복한다. 예를 들어 Fig. 2의 첫 번 째 그림에서 설계변수 x_i의 이산최적해가 Level 2로 결정되었다면 다음 단계의 3 개 수준은 Level 1, Level 2, Level 3로 결정한다. 만일 설계변수 x_i의 이산최적해가 Level 5로 결정되었다면 다음 단계의 3 개 수준은 Level 3, Level 4, Level 5로 결정한다. 이 과정을 수렴할 때까지 반복한다. 각 과정은 포 트란으로 프로그래밍되었다.

2.2 반응표면 모델 및 크리깅 모델

2 단계와 3 단계의 설계과정에 사용된 하이브리 드 메타모델은 반응표면모델과 크리깅모델로 구성 이된다. 메타모델을 생성하는 방법으로는 반응표면 법, 크리깅, 신경망, RBF(Radial Basis function)등 여 러 가지 방법이 있는데, 본 연구에서는 회귀분석의 대표적인 방법인 반응표면법과 내삽법의 대표적인 방법인 크리깅으로 구성이 되는 하이브리드 메타 모델을 이용하였다^[10].

반응표면모델은 2차 다항식으로 전개하게 되면 반응치를 다음과 같이 예측할 수 있다^[10].

\begin{array}{l} \overset{⌢}{y_{R}} = [1 x_{1} x_{2} . \dots x_{n} \dots x_{1} x_{2} \dots x_{n}^{2}] β \\ β = [β_{0} β_{1} β_{2} ... .. β_{p - 1}], \end{array}

(2)

여기서 p=1+2n+n(n-1)/2이며 β는 다음과 같이 결 정된다.

β = (X^{'} X) X^{'} y

(3)

여기서 X는 식 (2) 에서 표본점 n_s 개에 대하여 구 해지는 n_s 개 행벡터로 구성되는 행렬이며 y는 그 에 해당되는 반응치 값으로 구성되는 벡터이다.

크리깅은 주어진 반응치 값을 기초로 특정점의 예측값을 내삽법을 통하여 알아내는 방법으로서 본 연구에서는 Sacks^[16]가 제안한 DACE(Design and Analysis of Computer Experiments) 기법을 적용하였 다. 반응치 함수 f(x)와 그 근사모델은 다음과 같이 표시될 수 있다.

\begin{array}{l} f (x) = δ + z (x) \\ \overset{⌢}{y_{K}} = \hat{δ} + r^{'} (x) R^{- 1} (y - \hat{δ} i) \end{array}

(4)

여기서 δ는 상수, z(x)는 평균 0, 분산 s²인 정규 분포를 따르는 확률변수, R은 상관행렬, r은 상관 벡터, i는 단위행렬을 의미한다. 또한 상관행렬은 다음 식을 이용하여 구해진다.

\begin{matrix} R (x^{j}, x^{k}) = EXP [- \sum_{i = 1}^{n} θ_{i} {| x_{i}^{j} - x_{i}^{k} |}^{2}], \\ (j = 1, \dots, n_{s}, k = 1, \dots, n_{s}) \end{matrix}

(5)

상관벡터는 식 (5)의 두 개의 설계점에서 한 점 을 임의의 x로 대치하면 구할 수 있다.

식 (5)에서 θ_i는 식 (4)의 δ와 함께 파라미터로 서 최소화 과정을 통해 구해지는데 자세한 내용은 참고문헌^[16]에 수록되어 있다.

2.3 하이브리드 메타모델

반응표면법, 크리깅, 신경망, RBF(Radial Basis Function)등의 단일 메타모델은 각각 장단점을 가지 고 있다. 따라서 Goel 등^[10-15]은 이러한 단일 메타 모델등을 2개 이상 조합해서 사용하는 하이브리드 메타모델을 제안하였다. 앙상블모델 또는 다중대리 모델(Multiple Surrogate Model)도 동일한 의미를 갖 는 용어이다.

본 연구에서는 반응표면모델과 크리깅으로 구성 되는 하이브리드 메타모델을 다음 식과 같이 정의 한다^[10,11].

\begin{array}{l} \hat{y} = w_{R} \hat{y_{R}} + w_{K} \hat{y_{K}} \\ w_{R} + w_{K} = 1 \end{array}

(6)

대부분의 하이브리드 메타모델은 교차검증(CV: Cross Validation), 평균제곱오차나 추정분산을 최소 화 되도록 구성이 된다^[10,11]. 본 연구에서는 식 (6) 에서의 가중치 w_R, w_K는 반응표면모델과 크리깅모 델의 CV 값에 기초하여 계산된다. 교차검증 CV는 다음과 같이 정의된다.

C V_{j} = \frac{1}{C} \sum_{i = 1}^{C} {(y_{i} - \hat{y_{j - i}})}^{2}, j = K or R

(7)

여기서 C는 클러스터링 개수이며 클러스터링 기법 으로 Forge 알고리즘을 적용하였다. 이 교차검증 을 이용하면 가중치는 다음과 같이 결정된다.

\begin{array}{l} w_{R} = \frac{\hat{w_{R}}}{\hat{w_{R}} + \hat{w_{K}}}, w_{K} = \frac{\hat{w_{K}}}{\hat{w_{R}} + \hat{w_{K}}} \\ \hat{w_{R}} = {(C V_{R} + λ * C V_{a υ g})}^{γ}, \hat{w_{K}} = {(C V_{K} + λ * C V_{a υ g})}^{γ} \\ λ * < 1, γ < 0 \end{array}

(8)

여기서 CV_ave는 CV_R과 CV_K의 평균이다.

3. 적용예제

본 연구에서 제시한 설계과정의 타당성을 보이 기 위해 트러스 구조믈의 이산 치수설계에 대표적 인 에제로 사용되는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar 설계 문제를 해결하였다. 본 연구 결과와 기존의 연구 결과를 비교하기 위해 기존 연구에서 제시한 단위계를 그대로 이용하였다. 첫 번째 설계과정에 서 수행해야 하는 연속최적화 방법은 ANSYS V12 에 내장되어 있는 OPFRST 명령어를 이용하였다. 또한 식 (1)에서 α=0.9로, 식 (7)에서 C는 5, 식 (8)에서 λ^*=0.02, γ=-4로 설정하였다.

3.1 10-Bar 트러스 구조설계

10-bar 트러스 구조물을 Fig. 3에 표시하였으며 밀도 ρ=0.1 lb/in³, 탄성계수 E=10,000 ksi, P₁=10⁵ lb, P₂=0이다. 최적설계를 위한 정식화는 다음과 같 이 정의된다^[8].

\begin{array}{l} M i n i m i z e W e i g h t \\ S u b j e c t t o - σ_{a l l} \leq σ_{i} \leq σ_{a l l} (i = 1, \dots, 10) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{j x} \leq δ_{a l l} (j = 1, \dots, 4) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{y x} \leq δ_{a l l} (j = 1, \dots, 4) \end{array}

(9)

여기서 설계변수는 Fig. 3에서 각 요소의 단면적 A_i(i=1,...,10)이며 σ_i는 i 번째 요소의 응력, σ_all은 허용응력으로서 25 ksi, δ_jx, δ_jy는 j 번째 절점의 변위, δ_all은 허용변위로서 2.0 in이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.

연속 최적해는 ANSYS의 OPFRST를 이용하여 x*=[30.28 1.62 25.29 14.94 1.62 1.62 9.79 20.82 20.59 1.62] in²으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 684회의 유한요소해석이 요구되었다. 이를 기초로 최적해 주변에서 5개 수준을 정의하고 하한값, 상 한값을 [22.0 33.5], [1.62 2.38], [22.0 33.5], [13.90 16.90], [1.62 2.38], [1.62 2.38], [7.22 13.90], [16.90 22.90], [16.90 22.90], [1.62 2.38] in²으로 설정한 후 하이브리드 메타모델을 생성한다. 이 때 식 (1)을 만족하는 제약조건은 식 (9)에서 정의된 18 개의 제약조건 중 2 번과 4 번 절점의 y 방향 변위인 δ_2y와 δ_4y이다. 따라서 목적함수 중량 W와 더불어 3 개의 반응치에 대한 하이브리드 모델을 각각 생 성한다. 이 과정에서 표본점수는 132개로 하였으며 이는 이차다항식을 구성하기 위한 최소 표본점수 인 66개의 두 배이다. 따라서 유한요소해석은 총 816회 수행되었다.

하이브리드 모델을 생성한 후 Fig. 2에서 설명한 바와 같이 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고려 하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 W, δ_2y, δ_4y 를 예측한다. 그 중 제약조건을 만족하면서 중량이 최소가 되는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 그 결과 최적해는 x*=[33.5 1.62 22.9 15.5 1.62 1.62 7.97 22.0 22.0 1.62] in² 으로 결정되었다. 그 다음 구해진 이산값을 2 번째 수준으로 하고 그 값의 앞뒤의 이산값으로 3 개 수준을 설정하여 중량이 최소가 되면서 제약조건을 만족하는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 만일 첫 이산최적값이 상한값 이 되면 Fig. 2 의 마지막 그림과 같이 3 개 수준 을 적용하며 하한값이 되면 하한값부터 3 개의 값 을 3 개 수준으로 설정한다. 그 결과 첫 번째 이산 해와 동일한 이산최적해가 산출되었다. 이산최적해 에서의 예측된 반응치와 실제 유한요소해석을 통 해 산출된 반응치를 Table 1에 비교하였다. 이산최 적해에서는 식 (9)에서 정의된 다른 제약조건도 모 두 만족시키고 있다.

동일한 문제에 대하여 유전자알고리즘^[4], 입자군 집최적화^[5], 모의담금질방법^[6], 빅뱅빅크런치(Big– Bang Big-Crunch)방법^[7], 하이브이드조화탐색법^[8]에 의한 최적해 결과와 본 연구의 결과를 Table 2에 비교하였다. 해석의 횟수는 Rajeev^[4]가 제일 우수하 지만 이는 다른 방법에서 제시한 최상의 최적해에 서의 중량 W(B)와 큰 차이를 보이고 있고 약간 제 약조건을 위배하고 있다. 또한 중량이 최소인 참고 문헌 5-8)의 해석 횟수는 5,000-50,000회이다. 본 연 구에서 제시한 최적 중량은 5491.17lb로서 W(B)와 큰 차이를 보이고 있지 않는 반면, 해석 횟수는 816회로서 매우 작다.

3.2 25-Bar 트러스 구조설계

25 개의 부재를 갖는 25-bar 트러스 구조물^[8,9]은 Fig. 4와 같은 형상을 갖는다. 각 부재의 재질은 동 일하며 밀도 ρ=0.1 lb/in³, 탄성계수 E=10,000 ksi의 값을 갖는다. 하중은 1 번 절점에 P_x=1,000 lb, P_y=-10,000 lb, P_z=-10,000 lb, 2 번 절점에 P_y=-10,000 lb, P_z=-10,000 lb, 3 번 절점에 P_x=500 lb, 6 번 절점에 P_x=600 lb가 작용한다. 설계변수는 부재의 단면적으로서 다음과 같이 그룹화하여 8 개로 선정된다. 즉, x₁: A₁, x₂: A₂~A₅, x₃: A₆~A₉, x₄: A₁₀~A₁₁, x₅: A₁₂~A₁₃, x₆: A₁₄~A₁₇, x₇: A₁₈~A₂₁, x₈: A₂₂~A₂₅이다.

최적설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된 다^[8].

\begin{array}{l} M i n i m i z e W e i g h t \\ S u b j e c t t o - σ_{a l l} \leq σ_{i} \leq σ_{a l l} (i = 1, \dots, 25) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{j x} \leq δ_{a l l} (j = 1, \dots, 6) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{y x} \leq δ_{a l l} (j = 1, \dots, 6) \end{array}

(10)

여기서 σ_all은 허용응력으로서 40,000 psi, δ_all은 허 용변위로서 0.35 in이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.

연속 최적해는 ANSYS의 OPFRST를 이용하여 x*=[0.62 0.66 3.4 0.1 1.57 0.89 0.36 3.4] in²으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 576회의 유한요소 해석이 수행되었다. 이 해는 변위 제약조건을 약 1% 위배하고 있는데 이는 ANSYS 옵션의 기본을 이용했기 때문이다. 식 (10)의 제약조건에서 1 번과 2 번 절점의 y 방향 변위만이 식 (1)을 만족시키므 로 중량을 포함한 3 개의 반응치에 대한 하이브리 드메타모델을 생성하였다.

연속 최적해를 기초로 8 개 설계변수의 하한값 및 상한값은 [0.4 0.8], [0.5 0.9], [2.6 3.4], [0.1 0.5], [1.4 1.8], [0.7 1.1], [0.2 0.6], [2.6 3.4]으로 설정된 다. 그 다음 설계변수 수가 8개이므로 이차다항식 을 만들기 위한 최소 표본점 수는 45개이다. 이의 2 배를 고려하여 90개의 표본점을 라틴하이퍼큐브 방법을 이용하여 정의한 후 유한요소 해석을 수행 한다. 그 다음 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고 려하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 W, δ_1y, δ_2y을 예측한다. 그 중 제약조건을 만족하면서 중 량이 최소가 되는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 그 결과 최적해는 x*=[0.5 0.6 3.4 0.1 1.5 1.0 0.5 3.4] in² 으로 결정되으며 이 때 예측치로서 중량은 494.51 lb, 변위는 각각 –0.3469 in, -0.3452 in가 산 출되었다. 그 다음 이 수준을 중심으로 다시 3 개 수준을 정의하여 얻은 두 번째 단계의 이산 최적 해는 x*=[0.4 0.6 3.4 0.1 1.6 0.9 0.5 3.4] in² 이다. Table 3은 이산 최적해에서의 예측값과 실제 해석 값과의 비교를 정리한 것이다. Table 4는 기존의 연구인 Rajeev^[4], Park^[9], Cheng^[8] 등의 결과와 비교 한 것이다. 본 연구의 결과는 앞의 두 결과보다 우 수하다. 그러나 Cheng의 결과보다는 중량이 약 0.65% 높아 미소한 차이를 보이는 반면 본 연구의 해석 횟수는 약 0.13배로 큰 차이를 보이고 있다.

3.3 15-Bar 트러스 구조설계

15-bar 트러스 구조물^[8]은 Fig. 5와 같이 각 요소 의 단면적 A_i(i=1,...,15)을 설계변수로 하며, 밀도 ρ =7800 kg/m³, 탄성계수 E=200 GPa, 첫 번째 하중조 건은 P₁=35 kN, P₂=35 kN, P₃=35 kN, 두 번째 하중 조건은 P₁=P₃=35 kN, P₂=0, 세 번째 하중조건은 P₁=35 kN, P₂=35 kN, P₃=0이 작용한다. 최적설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된다^[5,8].

\begin{array}{l} M i n i m i z e W e i g h t \\ S u b j e c t t o - σ_{a l l} \leq σ_{i} \leq σ_{a l l} (i = 1, \dots, 15) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{j x} \leq δ_{a l l} (j = 4, 6, 8) \\ - δ_{a l l} \leq δ_{y x} \leq δ_{a l l} (j = 4, 6, 8) \end{array}

(11)

여기서 σ_all은 허용응력으로서 120 MPa, δ_all은 허 용변위로서 10 mm이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.

ANSYS의 OPFRST를 이용하여 구해진 연속 최적 해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 337.27 337.27] mm²으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 1,661회의 유한요소해석이 수행되었다. 식 (11)에서 제약조건은 각 하중조건에 대하여 21개를 갖고 있으나 이 중 식 (1)을 만족하는 제약조건은 첫 번째 하중조건에 대한 5, 8, 14, 15번 요소의 응 력에 대한 것이다. 따라서 중량을 포함한 5 개의 반응치에 대해 하이브리드 메타모델을 생성하였다. 이 과정에서 표본점수는 408개로 하였으며 이는 이차다항식을 구성하기 위한 최소 표본점수인 136 개의 세 배이다. 10-bar, 25-bar 트러스설계 문제보 다는 설계변수가 많아 세 배로 결정하였다. 따라서 유한요소해석은 총 2,069회 수행되었다.

ANSYS의 OPFRST를 이용하여 최종 구해진 이산 최적해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 334.30 334.30] mm²이다. 이를 기초로 최적 해 주변에서 5개 수준을 정의하고 하한값, 상한값 을 [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [338.20 791.20], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [338.20 791.20], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [308.60 507.60], [308.60 507.60] mm²으로 설정한 후 하이브리드 메타모델을 생성한 다. 그 다음 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고려 하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 및 4 개에 대한 응력을 예측한다. 이 중 제약조건을 만족하면 서 중량이 최소가 되는 이산 최적해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 736.70 113.20 113.20 736.70 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 334.30 334.30] mm²이다. 이는 두 번째 과정에서도 동일하게 산출 되어 이를 최종 이산 최적해로 결정한다.

이산 최적해에서의 반응치에 대한 예측치와 실 제 해석값을 Table 5에 정리하였다. 15-bar 구조물 은 첫 번째 하중조건에 대하여 대칭이므로 해석결 과와 같이 5 번과 8 번 요소의 응력, 그리고 14 번 과 15 번 요소의 응력도 동일하게 산출되어야 한 다. 그러나 하이브리드모델의 경우 표본점에서 각 요소의 단면적이 다르게 부여되므로 이를 인식하 지 못한다. 따라서 대칭부재가 다른 응력을 갖는 것은 근사모델의 한계이다. 기존 연구와 본 연구 결과를 Table 6에 정리하였다. 본 연구와 Li^[5], Cheng^[8]의 연구는 결과가 동일하며 Zhang^[8]의 결과 보다는 우수하다. 해석 횟수를 고려하면 본 연구의 결과가 2,069 회로서 제일 우수하다.

3.4 52-Bar 트러스 구조설계

52-bar 트러스 구조물^[8,17,18]은 Fig. 6과 같이 하중 을 받는 구조물이다. 재료의 밀도 ρ=7860 kg/m³, 탄성계수 E=207 GPa이다. 첫 번째 하중이 구조물 에서 52 개의 요소들은 다음과 같이 그룹화되어 12 개의 설계변수로 선정된다. 즉, x₁: A₁~A₄, x₂: A₅~A₁₀, x₃: A₁₁~A₁₃, x₄: A₁₄~A₁₇, x₅: A₁₈~A₂₃, x₆: A₂₄~A₂₆, x₇: A₂₇~A₃₀, x₈: A₃₁~A₃₆., x₉: A₃₇~A₃₉.,, x₁₀: A₄₀~A₄₃., x₁₁: A₄₄~A₄₉., x₁₂: A₅₀~A₅₂이다. 재료는 최적 설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된다.

\begin{array}{l} M i n i m i z e W e i g h t \\ S u b j e c t t o - σ_{a l l} \leq σ_{i} \leq σ_{a l l} (i = 1, \dots, 52) \end{array}

(12)

여기서 σ_all은 허용응력으로서 180MPa이다. 설계변 수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 하 며 이는 AISC(American Institute of Steel Construction) 코드로부터 인용된 것이다.

ANSYS의 OPFRST를 이용하여 구해진 연속 최 적해는 x*=[4463.665 1163.508 290.286 3454.667 912.580 265.513 2390.429 996.839 284.343 1384.190 1092.529 459.248] mm²으로 1,198회의 유한요소해 석을 통해 산출되었다. 이로부터 각 설계변수의 하 한값 및 상한값은 [3303.219 5503.215], [1008.385 1374.191], [198.064 388.386], [3096.768 4658.055], [792.256 1045.159], [161.290 363.225], [2238.705 2496.769], [816.773 1161.288], [198.064 388.386], [1161.288 1690.319], [939.998 1283.868], [363.225 641.289] mm²으로 결정된다. 식 (12)에서 식 (1)을 만족하는 활성화 제약조건은 1 번, 6 번, 14 번, 19 번, 21 번, 24 번, 27 번, 34 번, 37 번, 40 번, 47 번, 50 번 요소의 응력이므로 중량 포함 13 개의 반응치를 하이브리드 메타모델을 이용하여 예측할 수 있다. 메타모델 생성을 위한 표본점은 273개로 설정되었다. 앞의 예제들과 동일한 과정을 통해 산 출된 이산 최적해는 x*=[4658.055 1161.288 198.064 3703.218 939.998 252.258 2341.931 939.998 258.161 1283.868 1161.288 494.193] mm²이다.

이산 최적해에서 반응치의 예측값 및 해석값을 Table 7에 비교하였다. 또한 기존의 연구와의 비교 를 Table 8에 수록하였다. 중량을 고려하면 Cheng^[8] 의 연구가 제일 우수한 반면 해석 횟수를 고려하 면 본 연구가 제일 우수하다. 단, 본 연구의 결과 는 Table 7의 34 번째 요소의 응력에서 볼 수 있듯 이 하이브리드 메타모델은 허용응력 이하이지만 실제 해석값은 약 0.48% 위배하고 있다. 이는 근사 모델에서 오는 오차로 발생된 것이다.

4. 결론

본 연구에서는 이산설계변수를 갖는 트러스 구 조물의 치수 최적화 문제를 위한 설계방법을 제시 하였으며 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.

본 연구에서는 연속설계공간에서의 우수한 최적 해를 이용하고 후처리로서 이산 최적해를 찾는 설계 방법을 제시하였다. 이는 해석 횟수를 최소 화하면서 효율적으로 이산 최적해를 산출할 수 있는 장점이 있다. 기존의 연구들에서는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar 문제의 이산 최적해를 얻 기까지 800~150,000 회의 해석이 요구되었지만 본 연구에서 제시한 방법은 666~2,069 회의 해 석이 수행되었다.
반응표면모델과 크리깅으로 구성된 하이브리드 메타모델은 중량 및 응력 등의 구조적 반응치를 비교적 정확히 예측하고 있다. 이는 규격화된 이 산설계변수의 범위 내에서 하이브리드 메타모델 의 도입의 타당성을 보여주는 것이다.
본 연구에서는 연속 최적해를 구하기 위해 ANSYS에 내장되어 있는 최적화 기능을 이용하 였는데, 초기치를 변경하면 연속 최적해를 구하 기까지의 해석 횟수가 달라질 수 있다. 본 연구 에서는 초기치를 임의로 설정한 것이다. 만일 또 다른 유한요소해석 프로그램인 NASTRAN이나 GENESIS를 이용하면 이들은 민감도 해석으로 준해석적방법과 해석적방법을 이용하므로 함수 계산횟수를 더욱 크게 줄일 수 있다.
본 연구에서 제시한 방법은 해석 횟수 측면에서 다른 설계방법보다 우수하나 이 이외에 하이브 리드 메타모델을 생성하는 과정이 요구된다. 하 이브리드 메타모델을 생성하는 시간은 설계변수 의 수와 비례한다. 또한 본 연구에서 제시한 방 법은 트러스 구조물의 이산설계 뿐만아니라 해 석시간이 많이 소요되는 다른 구조물의 이산설 계에도 적용 가능하다.

후 기

이 논문은 동아대학교 교내연구비 지원에 의하 여 연구되었음.

Figure

Fig. 1.Suggested design process

Fig. 2.Definition of 5 levels and 3 levels

Fig. 3.10-bar truss structure

Fig. 4.25-bar truss structure

Fig. 5.15-bar truss structure

Fig. 6.52-bar truss structure

Table

Table 1.True and predicted responses at the discrete optimum design (10-bar truss design)

Table 2.Comparison of suggested design with other methods (10-bar truss design)

Table 3.True and predicted responses at the discrete optimum design (25-bar truss design)

Table 4.Comparison of suggested design with other methods (25-bar truss design)

Table 5.True and predicted responses at the discrete optimum design (15-bar truss design)

Table 6.Comparison of suggested design with other methods (15-bar truss design)

Table 7.True and predicted responses at the discrete optimum design (52-bar truss design)

Table 8.Comparison of suggested design with other methods(52-bar truss design)

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