1. 서 론
이산최적화(discrete optimization) 문제 또는 조합 최적화(combinatorial optimization) 문제를 해결하기 위한 방법으로는 분지한계법(Brand and Bound Method)[1,2]이나 유전자알고리즘, 타부탐색법, 모의 담금질(Simulated Annealing)등의 메타휴리스틱 방법 [3-9] 등이 이용되고 있다. 일반적으로 이러한 이산 최적화 문제와 조합최적화 문제는 연속설계변수를 갖는 최적화문제에 비해 많은 함수 계산을 요구하 며 정확한 최적해를 찾기 어려운 특징이 있다[3].
구조최적화 문제 중에서 설계변수가 규격이나 코드에서 선택되어야 한다면 이는 이산최적화 문 제에 속한다. 그러나 구조최적화 문제는 유한요소 해석을 수반하므로 분지한계법이나 메타휴리스틱 방법을 이용할 경우 과도한 함수계산 횟수를 필요 로 한다[3]. 본 연구에서는 트러스 구조물의 치수최 적화문제에 대한 효율적인 설계 방법을 제시하고 자 한다. 트러스 구조물에서 구조를 구성하고 있는 절점 등의 위치는 불변이고 각 요소의 단면이 설 계변수가 된다면 이는 치수최적화 문제에 해당한 다.
트러스 구조물의 이산 치수최적화에 대한 기존 의 연구들은 주로 유전자알고리즘, 모의담금질방 법, 입자군집최적화(Particle Swarm Optimization)방 법, 조화탐색법(Harmony Search Method) 등[4-9]을 이 용하고 있다. 기존의 연구들은 앞의 최적화알고리 즘과 해석을 바로 연계하여 이산 최적해를 구할려 는 시도로서 각 적용예제에 대해 800~150,000 회의 함수계산을 필요로 한다. 이 중 가장 최근의 연구 인 Cheng 등[8]의 연구에서는 하이브리드 조화탐색 알고리즘을 이용하여 다른 방법에 비하여 함수계 산을 작게 하면서 이산 최적해를 제시하고 있다. 그러나 이 역시 많은 함수계산을 요구한다.
본 연구에서는 두 가지의 전략을 이용하여 트러 스 구조물의 치수최적화 문제를 해결하고자 한다. 먼저 이산해는 연속설계공간에서 구한 최적해의 주변에 존재한다고 가정한다. 즉, 설계변수를 이산 변수가 아닌 연속변수로 가정한 다음 최적해를 구 한다. 그 다음 최적화 정식화에서 포함된 반응치 중 스크린(Screen)을 통해 민감한 반응치를 선정한 다.
두 번째 전략은 연속 최적해 주변에서 목적함수 와 스크린되지 않은 제약조건함수에 포함된 반응 치의 근사모델을 이용하는 것이다. 생성된 근사모 델을 가지고 연속 최적해 주변의 이산값들에 대한 반응치를 예측하여 이산 최적해를 구하는 것이다. 이 과정에서 근사모델을 이용하면 중량, 변위, 응 력 등의 반응치를 구하기 위한 유한요소해석 또는 함수계산이 불필요하다. 즉, 본 연구에서 제시한 방법은 연속최적화의 후처리로서 근사모델을 이용 하여 이산최적해를 구하는 과정이다.
구조적 반응치의 근사모델을 구하기 위한 방법 으로서 반응표면모델과 크리깅모델로 구성되는 하 이브리드 메타모델[10-15]을 이용하였다. 반응표면모 델은 2 차함수로 가정하였고 크리깅은 Sacks가 제 안한 DACE 모델[16]을 이용하여 하이브리드모델을 구성하였다. 본 연구에서 제시한 방법의 타당성을 검토하기 위하여 트러스 구조물의 이산 치수최적 화 연구에 자주 등장하는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar로 구성되는 트러스 구조물에 적용하였으며 기존의 연구결과와 비교하였다. 본 연구에서 트러 스 구조물의 구조해석 및 연속 최적해를 구하기 위하여 ANSYS V12를 이용하였다.
2. 연속설계 후처리 및 근사모델을 이용한 이산설계 방법
2.1 설계과정
본 연구에서 제시한 설계과정을 Fig. 1에 요약 하였다. 먼저 1 단계에서는 이산설계 문제를 무시 하고 연속설계 공간에서 최적해를 구한다. 그 다 음, 두 번째 단계에서는 최적해 주변에 존재하는 이산설계값을 5 개 선정한다. 이것을 Fig. 2에 표시 하였다. 설계변수의 연속 최적해가 xi*로 결정되면 가장 가까운 이산값에 대응하는 수준을 3 번째 수 준으로 잡고 좌, 우측에 수준을 두 개씩 추가하여 5 개 수준을 정의한다. 이 과정을 Fig. 2 의 첫 번 째 그림에 표시하였다. 만일 두 번째, 세 번째 그 림과 같이 연속 최적해가 xi*로 결정되면 그림과 같 이 5개 수준을 정의한다. 이 수준들을 기초로 하한 값 및 상한값이 결정되면 라틴하이퍼큐브 샘플링 기법을 이용하여 표본점을 생성한다. 이 때 생성되 는 표본점수는 2차 반응표면모델을 생성하기 위해 필요한 최소 표본점 수의 2-3배로 설정하였다.
세 번째 단계에서는 구조적 반응치의 메타모델 개수를 최소화로 하기 위해 연속 최적해에서 비활 성화제약조건들을 스크리닝하여 제거한다. 본 연구 에서는 활성화제약조건을 다음과 같이 정의하였다.
여기서 x 는 설계변수벡터, gj(x) 는 j 번째 제약조 건함수를, m은 제약조건함수의 개수를, all은 허 용값을, α는 활성화제약조건을 정의하는 인자로서 1 미만의 값을 갖는다. 따라서 식 (1)을 만족시키지 못하는 제약조건들은 메타모델을 생성하지 않는다. 식 (1)을 만족하는 제약조건에 포함된 구조적 반응 치와 목적함수에 포함된 구조적 반응치는 다음 절 에서 설명하는 하이브리드 메타모델을 이용하여 근사함수로 대체된다.
네 번째 단계에서는 Fig. 2에서 설명한 5 개 수 준들에서 연속 최적해를 포함하는 3 개 수준을 선 택한다. 이에 기초하여 이산값들의 3n(n은 설계변수 의 수)의 조합에 대하여 목적함수가 작은 순서대로 오름차순으로 정리한다. 이 중 제약조건을 만족하 면서 목적함수가 제일 작은 순서에 오는 이산값의 조합이 이산 최적해가 된다. 그 다음, 결정된 이산 최적해를 중심으로 다시 3 개의 수준을 결정한 후 동일한 과정을 반복한다. 예를 들어 Fig. 2의 첫 번 째 그림에서 설계변수 xi의 이산최적해가 Level 2로 결정되었다면 다음 단계의 3 개 수준은 Level 1, Level 2, Level 3로 결정한다. 만일 설계변수 xi의 이산최적해가 Level 5로 결정되었다면 다음 단계의 3 개 수준은 Level 3, Level 4, Level 5로 결정한다. 이 과정을 수렴할 때까지 반복한다. 각 과정은 포 트란으로 프로그래밍되었다.
2.2 반응표면 모델 및 크리깅 모델
2 단계와 3 단계의 설계과정에 사용된 하이브리 드 메타모델은 반응표면모델과 크리깅모델로 구성 이된다. 메타모델을 생성하는 방법으로는 반응표면 법, 크리깅, 신경망, RBF(Radial Basis function)등 여 러 가지 방법이 있는데, 본 연구에서는 회귀분석의 대표적인 방법인 반응표면법과 내삽법의 대표적인 방법인 크리깅으로 구성이 되는 하이브리드 메타 모델을 이용하였다[10].
반응표면모델은 2차 다항식으로 전개하게 되면 반응치를 다음과 같이 예측할 수 있다[10].
여기서 p=1+2n+n(n-1)/2이며 β는 다음과 같이 결 정된다.
여기서 X는 식 (2) 에서 표본점 ns 개에 대하여 구 해지는 ns 개 행벡터로 구성되는 행렬이며 y는 그 에 해당되는 반응치 값으로 구성되는 벡터이다.
크리깅은 주어진 반응치 값을 기초로 특정점의 예측값을 내삽법을 통하여 알아내는 방법으로서 본 연구에서는 Sacks[16]가 제안한 DACE(Design and Analysis of Computer Experiments) 기법을 적용하였 다. 반응치 함수 f(x)와 그 근사모델은 다음과 같이 표시될 수 있다.
여기서 δ는 상수, z(x)는 평균 0, 분산 s2인 정규 분포를 따르는 확률변수, R은 상관행렬, r은 상관 벡터, i는 단위행렬을 의미한다. 또한 상관행렬은 다음 식을 이용하여 구해진다.
상관벡터는 식 (5)의 두 개의 설계점에서 한 점 을 임의의 x로 대치하면 구할 수 있다.
식 (5)에서 θi는 식 (4)의 δ와 함께 파라미터로 서 최소화 과정을 통해 구해지는데 자세한 내용은 참고문헌[16]에 수록되어 있다.
2.3 하이브리드 메타모델
반응표면법, 크리깅, 신경망, RBF(Radial Basis Function)등의 단일 메타모델은 각각 장단점을 가지 고 있다. 따라서 Goel 등[10-15]은 이러한 단일 메타 모델등을 2개 이상 조합해서 사용하는 하이브리드 메타모델을 제안하였다. 앙상블모델 또는 다중대리 모델(Multiple Surrogate Model)도 동일한 의미를 갖 는 용어이다.
본 연구에서는 반응표면모델과 크리깅으로 구성 되는 하이브리드 메타모델을 다음 식과 같이 정의 한다[10,11].
대부분의 하이브리드 메타모델은 교차검증(CV: Cross Validation), 평균제곱오차나 추정분산을 최소 화 되도록 구성이 된다[10,11]. 본 연구에서는 식 (6) 에서의 가중치 wR, wK는 반응표면모델과 크리깅모 델의 CV 값에 기초하여 계산된다. 교차검증 CV는 다음과 같이 정의된다.
여기서 C는 클러스터링 개수이며 클러스터링 기법 으로 Forge 알고리즘을 적용하였다. 이 교차검증 을 이용하면 가중치는 다음과 같이 결정된다.
여기서 CVave는 CVR과 CVK의 평균이다.
3. 적용예제
본 연구에서 제시한 설계과정의 타당성을 보이 기 위해 트러스 구조믈의 이산 치수설계에 대표적 인 에제로 사용되는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar 설계 문제를 해결하였다. 본 연구 결과와 기존의 연구 결과를 비교하기 위해 기존 연구에서 제시한 단위계를 그대로 이용하였다. 첫 번째 설계과정에 서 수행해야 하는 연속최적화 방법은 ANSYS V12 에 내장되어 있는 OPFRST 명령어를 이용하였다. 또한 식 (1)에서 α=0.9로, 식 (7)에서 C는 5, 식 (8)에서 λ*=0.02, γ=-4로 설정하였다.
3.1 10-Bar 트러스 구조설계
10-bar 트러스 구조물을 Fig. 3에 표시하였으며 밀도 ρ=0.1 lb/in3, 탄성계수 E=10,000 ksi, P1=105 lb, P2=0이다. 최적설계를 위한 정식화는 다음과 같 이 정의된다[8].
여기서 설계변수는 Fig. 3에서 각 요소의 단면적 Ai(i=1,...,10)이며 σi는 i 번째 요소의 응력, σall은 허용응력으로서 25 ksi, δjx, δjy는 j 번째 절점의 변위, δall은 허용변위로서 2.0 in이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.
연속 최적해는 ANSYS의 OPFRST를 이용하여 x*=[30.28 1.62 25.29 14.94 1.62 1.62 9.79 20.82 20.59 1.62] in2으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 684회의 유한요소해석이 요구되었다. 이를 기초로 최적해 주변에서 5개 수준을 정의하고 하한값, 상 한값을 [22.0 33.5], [1.62 2.38], [22.0 33.5], [13.90 16.90], [1.62 2.38], [1.62 2.38], [7.22 13.90], [16.90 22.90], [16.90 22.90], [1.62 2.38] in2으로 설정한 후 하이브리드 메타모델을 생성한다. 이 때 식 (1)을 만족하는 제약조건은 식 (9)에서 정의된 18 개의 제약조건 중 2 번과 4 번 절점의 y 방향 변위인 δ2y와 δ4y이다. 따라서 목적함수 중량 W와 더불어 3 개의 반응치에 대한 하이브리드 모델을 각각 생 성한다. 이 과정에서 표본점수는 132개로 하였으며 이는 이차다항식을 구성하기 위한 최소 표본점수 인 66개의 두 배이다. 따라서 유한요소해석은 총 816회 수행되었다.
하이브리드 모델을 생성한 후 Fig. 2에서 설명한 바와 같이 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고려 하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 W, δ2y, δ4y 를 예측한다. 그 중 제약조건을 만족하면서 중량이 최소가 되는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 그 결과 최적해는 x*=[33.5 1.62 22.9 15.5 1.62 1.62 7.97 22.0 22.0 1.62] in2 으로 결정되었다. 그 다음 구해진 이산값을 2 번째 수준으로 하고 그 값의 앞뒤의 이산값으로 3 개 수준을 설정하여 중량이 최소가 되면서 제약조건을 만족하는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 만일 첫 이산최적값이 상한값 이 되면 Fig. 2 의 마지막 그림과 같이 3 개 수준 을 적용하며 하한값이 되면 하한값부터 3 개의 값 을 3 개 수준으로 설정한다. 그 결과 첫 번째 이산 해와 동일한 이산최적해가 산출되었다. 이산최적해 에서의 예측된 반응치와 실제 유한요소해석을 통 해 산출된 반응치를 Table 1에 비교하였다. 이산최 적해에서는 식 (9)에서 정의된 다른 제약조건도 모 두 만족시키고 있다.
동일한 문제에 대하여 유전자알고리즘[4], 입자군 집최적화[5], 모의담금질방법[6], 빅뱅빅크런치(Big– Bang Big-Crunch)방법[7], 하이브이드조화탐색법[8]에 의한 최적해 결과와 본 연구의 결과를 Table 2에 비교하였다. 해석의 횟수는 Rajeev[4]가 제일 우수하 지만 이는 다른 방법에서 제시한 최상의 최적해에 서의 중량 W(B)와 큰 차이를 보이고 있고 약간 제 약조건을 위배하고 있다. 또한 중량이 최소인 참고 문헌 5-8)의 해석 횟수는 5,000-50,000회이다. 본 연 구에서 제시한 최적 중량은 5491.17lb로서 W(B)와 큰 차이를 보이고 있지 않는 반면, 해석 횟수는 816회로서 매우 작다.
3.2 25-Bar 트러스 구조설계
25 개의 부재를 갖는 25-bar 트러스 구조물[8,9]은 Fig. 4와 같은 형상을 갖는다. 각 부재의 재질은 동 일하며 밀도 ρ=0.1 lb/in3, 탄성계수 E=10,000 ksi의 값을 갖는다. 하중은 1 번 절점에 Px=1,000 lb, Py=-10,000 lb, Pz=-10,000 lb, 2 번 절점에 Py=-10,000 lb, Pz=-10,000 lb, 3 번 절점에 Px=500 lb, 6 번 절점에 Px=600 lb가 작용한다. 설계변수는 부재의 단면적으로서 다음과 같이 그룹화하여 8 개로 선정된다. 즉, x1: A1, x2: A2~A5, x3: A6~A9, x4: A10~A11, x5: A12~A13, x6: A14~A17, x7: A18~A21, x8: A22~A25이다.
최적설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된 다[8].
여기서 σall은 허용응력으로서 40,000 psi, δall은 허 용변위로서 0.35 in이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.
연속 최적해는 ANSYS의 OPFRST를 이용하여 x*=[0.62 0.66 3.4 0.1 1.57 0.89 0.36 3.4] in2으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 576회의 유한요소 해석이 수행되었다. 이 해는 변위 제약조건을 약 1% 위배하고 있는데 이는 ANSYS 옵션의 기본을 이용했기 때문이다. 식 (10)의 제약조건에서 1 번과 2 번 절점의 y 방향 변위만이 식 (1)을 만족시키므 로 중량을 포함한 3 개의 반응치에 대한 하이브리 드메타모델을 생성하였다.
연속 최적해를 기초로 8 개 설계변수의 하한값 및 상한값은 [0.4 0.8], [0.5 0.9], [2.6 3.4], [0.1 0.5], [1.4 1.8], [0.7 1.1], [0.2 0.6], [2.6 3.4]으로 설정된 다. 그 다음 설계변수 수가 8개이므로 이차다항식 을 만들기 위한 최소 표본점 수는 45개이다. 이의 2 배를 고려하여 90개의 표본점을 라틴하이퍼큐브 방법을 이용하여 정의한 후 유한요소 해석을 수행 한다. 그 다음 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고 려하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 W, δ1y, δ2y을 예측한다. 그 중 제약조건을 만족하면서 중 량이 최소가 되는 조합을 이산 최적해로 산출한다. 그 결과 최적해는 x*=[0.5 0.6 3.4 0.1 1.5 1.0 0.5 3.4] in2 으로 결정되으며 이 때 예측치로서 중량은 494.51 lb, 변위는 각각 –0.3469 in, -0.3452 in가 산 출되었다. 그 다음 이 수준을 중심으로 다시 3 개 수준을 정의하여 얻은 두 번째 단계의 이산 최적 해는 x*=[0.4 0.6 3.4 0.1 1.6 0.9 0.5 3.4] in2 이다. Table 3은 이산 최적해에서의 예측값과 실제 해석 값과의 비교를 정리한 것이다. Table 4는 기존의 연구인 Rajeev[4], Park[9], Cheng[8] 등의 결과와 비교 한 것이다. 본 연구의 결과는 앞의 두 결과보다 우 수하다. 그러나 Cheng의 결과보다는 중량이 약 0.65% 높아 미소한 차이를 보이는 반면 본 연구의 해석 횟수는 약 0.13배로 큰 차이를 보이고 있다.
3.3 15-Bar 트러스 구조설계
15-bar 트러스 구조물[8]은 Fig. 5와 같이 각 요소 의 단면적 Ai(i=1,...,15)을 설계변수로 하며, 밀도 ρ =7800 kg/m3, 탄성계수 E=200 GPa, 첫 번째 하중조 건은 P1=35 kN, P2=35 kN, P3=35 kN, 두 번째 하중 조건은 P1=P3=35 kN, P2=0, 세 번째 하중조건은 P1=35 kN, P2=35 kN, P3=0이 작용한다. 최적설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된다[5,8].
여기서 σall은 허용응력으로서 120 MPa, δall은 허 용변위로서 10 mm이다. 설계변수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 한다.
ANSYS의 OPFRST를 이용하여 구해진 연속 최적 해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 337.27 337.27] mm2으로 구해졌으며 이를 구하기 위하여 1,661회의 유한요소해석이 수행되었다. 식 (11)에서 제약조건은 각 하중조건에 대하여 21개를 갖고 있으나 이 중 식 (1)을 만족하는 제약조건은 첫 번째 하중조건에 대한 5, 8, 14, 15번 요소의 응 력에 대한 것이다. 따라서 중량을 포함한 5 개의 반응치에 대해 하이브리드 메타모델을 생성하였다. 이 과정에서 표본점수는 408개로 하였으며 이는 이차다항식을 구성하기 위한 최소 표본점수인 136 개의 세 배이다. 10-bar, 25-bar 트러스설계 문제보 다는 설계변수가 많아 세 배로 결정하였다. 따라서 유한요소해석은 총 2,069회 수행되었다.
ANSYS의 OPFRST를 이용하여 최종 구해진 이산 최적해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 539.00 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 334.30 334.30] mm2이다. 이를 기초로 최적 해 주변에서 5개 수준을 정의하고 하한값, 상한값 을 [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [338.20 791.20], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [338.20 791.20], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [113.20 185.90], [308.60 507.60], [308.60 507.60] mm2으로 설정한 후 하이브리드 메타모델을 생성한 다. 그 다음 연속 최적해 주변의 3 개 수준을 고려 하여 이산설계변수 조합에 대한 중량 및 4 개에 대한 응력을 예측한다. 이 중 제약조건을 만족하면 서 중량이 최소가 되는 이산 최적해는 x*=[113.20 113.20 113.20 113.20 736.70 113.20 113.20 736.70 113.20 113.20 113.20 113.20 113.20 334.30 334.30] mm2이다. 이는 두 번째 과정에서도 동일하게 산출 되어 이를 최종 이산 최적해로 결정한다.
이산 최적해에서의 반응치에 대한 예측치와 실 제 해석값을 Table 5에 정리하였다. 15-bar 구조물 은 첫 번째 하중조건에 대하여 대칭이므로 해석결 과와 같이 5 번과 8 번 요소의 응력, 그리고 14 번 과 15 번 요소의 응력도 동일하게 산출되어야 한 다. 그러나 하이브리드모델의 경우 표본점에서 각 요소의 단면적이 다르게 부여되므로 이를 인식하 지 못한다. 따라서 대칭부재가 다른 응력을 갖는 것은 근사모델의 한계이다. 기존 연구와 본 연구 결과를 Table 6에 정리하였다. 본 연구와 Li[5], Cheng[8]의 연구는 결과가 동일하며 Zhang[8]의 결과 보다는 우수하다. 해석 횟수를 고려하면 본 연구의 결과가 2,069 회로서 제일 우수하다.
3.4 52-Bar 트러스 구조설계
52-bar 트러스 구조물[8,17,18]은 Fig. 6과 같이 하중 을 받는 구조물이다. 재료의 밀도 ρ=7860 kg/m3, 탄성계수 E=207 GPa이다. 첫 번째 하중이 구조물 에서 52 개의 요소들은 다음과 같이 그룹화되어 12 개의 설계변수로 선정된다. 즉, x1: A1~A4, x2: A5~A10, x3: A11~A13, x4: A14~A17, x5: A18~A23, x6: A24~A26, x7: A27~A30, x8: A31~A36., x9: A37~A39.,, x10: A40~A43., x11: A44~A49., x12: A50~A52이다. 재료는 최적 설계를 위한 정식화는 다음과 같이 정의된다.
여기서 σall은 허용응력으로서 180MPa이다. 설계변 수는 부록에 수록된 이산집합에서 결정되어야 하 며 이는 AISC(American Institute of Steel Construction) 코드로부터 인용된 것이다.
ANSYS의 OPFRST를 이용하여 구해진 연속 최 적해는 x*=[4463.665 1163.508 290.286 3454.667 912.580 265.513 2390.429 996.839 284.343 1384.190 1092.529 459.248] mm2으로 1,198회의 유한요소해 석을 통해 산출되었다. 이로부터 각 설계변수의 하 한값 및 상한값은 [3303.219 5503.215], [1008.385 1374.191], [198.064 388.386], [3096.768 4658.055], [792.256 1045.159], [161.290 363.225], [2238.705 2496.769], [816.773 1161.288], [198.064 388.386], [1161.288 1690.319], [939.998 1283.868], [363.225 641.289] mm2으로 결정된다. 식 (12)에서 식 (1)을 만족하는 활성화 제약조건은 1 번, 6 번, 14 번, 19 번, 21 번, 24 번, 27 번, 34 번, 37 번, 40 번, 47 번, 50 번 요소의 응력이므로 중량 포함 13 개의 반응치를 하이브리드 메타모델을 이용하여 예측할 수 있다. 메타모델 생성을 위한 표본점은 273개로 설정되었다. 앞의 예제들과 동일한 과정을 통해 산 출된 이산 최적해는 x*=[4658.055 1161.288 198.064 3703.218 939.998 252.258 2341.931 939.998 258.161 1283.868 1161.288 494.193] mm2이다.
이산 최적해에서 반응치의 예측값 및 해석값을 Table 7에 비교하였다. 또한 기존의 연구와의 비교 를 Table 8에 수록하였다. 중량을 고려하면 Cheng[8] 의 연구가 제일 우수한 반면 해석 횟수를 고려하 면 본 연구가 제일 우수하다. 단, 본 연구의 결과 는 Table 7의 34 번째 요소의 응력에서 볼 수 있듯 이 하이브리드 메타모델은 허용응력 이하이지만 실제 해석값은 약 0.48% 위배하고 있다. 이는 근사 모델에서 오는 오차로 발생된 것이다.
4. 결론
본 연구에서는 이산설계변수를 갖는 트러스 구 조물의 치수 최적화 문제를 위한 설계방법을 제시 하였으며 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
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본 연구에서는 연속설계공간에서의 우수한 최적 해를 이용하고 후처리로서 이산 최적해를 찾는 설계 방법을 제시하였다. 이는 해석 횟수를 최소 화하면서 효율적으로 이산 최적해를 산출할 수 있는 장점이 있다. 기존의 연구들에서는 10-bar, 25-bar, 15-bar, 52-bar 문제의 이산 최적해를 얻 기까지 800~150,000 회의 해석이 요구되었지만 본 연구에서 제시한 방법은 666~2,069 회의 해 석이 수행되었다.
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반응표면모델과 크리깅으로 구성된 하이브리드 메타모델은 중량 및 응력 등의 구조적 반응치를 비교적 정확히 예측하고 있다. 이는 규격화된 이 산설계변수의 범위 내에서 하이브리드 메타모델 의 도입의 타당성을 보여주는 것이다.
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본 연구에서는 연속 최적해를 구하기 위해 ANSYS에 내장되어 있는 최적화 기능을 이용하 였는데, 초기치를 변경하면 연속 최적해를 구하 기까지의 해석 횟수가 달라질 수 있다. 본 연구 에서는 초기치를 임의로 설정한 것이다. 만일 또 다른 유한요소해석 프로그램인 NASTRAN이나 GENESIS를 이용하면 이들은 민감도 해석으로 준해석적방법과 해석적방법을 이용하므로 함수 계산횟수를 더욱 크게 줄일 수 있다.
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본 연구에서 제시한 방법은 해석 횟수 측면에서 다른 설계방법보다 우수하나 이 이외에 하이브 리드 메타모델을 생성하는 과정이 요구된다. 하 이브리드 메타모델을 생성하는 시간은 설계변수 의 수와 비례한다. 또한 본 연구에서 제시한 방 법은 트러스 구조물의 이산설계 뿐만아니라 해 석시간이 많이 소요되는 다른 구조물의 이산설 계에도 적용 가능하다.